Математическое моделирование физических процессов в металлических кристаллических решетках

Колебания кристаллических решеток определяют такие важные свойства материалов, как теплопроводность, теплоемкость, тепловое расширение и многие другие, поэтому их изучение является актуальной и важной задачей. Наряду с экспериментальными методами изучения нелинейной динамики кристаллической решетки широко используются эффективные методы компьютерного моделирования, такие как первопринципное моделирование и метод молекулярной динамики. Реже используется метод математического моделирования, так как погрешность расчетов при его применении может достигать 10%. Вместе с тем он является наименее затратным в вычислительном плане. В настоящей работе представлен процесс и описаны результаты математического моделирования физических процессов в металлах и упорядоченных сплавах при помощи потенциала Леннарда-Джонса в пакете программ MatLab, хорошо зарекомендовавшего себя для решения задач технических вычислений. В теоретической части описаны кристаллические решетки, дифференциальные уравнения движения для моделирования, их начальные и граничные условия, а также разностная аппроксимация. В качестве метода моделирования выбран принцип молекулярно-динамического моделирования при помощи одного из парных потенциалов. В практической части представлены вычислительный алгоритм, линеаризация числа операций, термодинамические расчеты, описаны скоростная схема Верле и потенциал межатомного взаимодействия, а также приведена поэтапная разработка модели в среде моделирования. Получены следующие результаты: построен график трехмерного распределения атомов по расчетной ячейке, доказывающий возможность перемещения до пяти межатомных расстояний; произведена оценка амплитудно-частотной характеристики методом Уэлча с относительной среднеквадратической ошибкой, не превышающей 30%; получена графическая зависимость энергий связи между настоящей моделью и стандартными данными для ячейки ГПУ металла с погрешностью немногим более 3%; произведено вычисление оптимальной модели для кусочно-линейной аппроксимации, и построена её трехмерная интерполяция. Все проведенные исследования показывают хорошую степень применимости математического моделирования к задачам изучения динамических процессов в физике кристаллов.

математическое моделирование, потенциал Леннарда-Джонса, пакет программ MatLab, дифференциальные уравнения, атом, кристаллическая решетка, металлы и упорядоченные сплавы, энергия взаимодействия, амплитудно-частотная характеристика, разностная аппроксимация

1. Борн, М. Динамическая теория кристаллических решеток / М. Борн, Х. Кунь. - Москва : Издательство иностранной литературы, 1958. - 488 с. - Текст : непосредственный.

2. Греков Ф.Ф. Структурная кристаллография / Ф. Ф. Греков, Г. Б. Рябенко, Ю. П. Смирнов. - Ленинград : Издательство ЛГПИ, 1988. - 80 с. - Текст : непосредственный.

3. Гуляев, А. П. Металловедение / А. П. Гуляев. - изд. 6-ое. - Москва : Металлургия, 1986. - 544 с. - Текст : непосредственный.

4. Хеерман, Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / Д. В. Херман. - Москва : Наука, 1990. - 176 с. - Текст : непосредственный.

5. Якушев, И. А. Математическое моделирование сложных технических систем в среде MATLAB / И. А. Якушев, М. Н. Семенова, Ю. В. Бебихов и др. - Москва : Издательство «Спутник +», 2019. - 126 с. - Текст : непосредственный.

6. Мажукин, В. И. Температурная зависимость кинетической скорости плавления и кристаллизации алюминия / В. И. Мажукин, А. В. Шапранов, М. М. Демин и др. // Краткие сообщения по физике ФИАН. - 2016. - № 9. - С. 37-43. - Текст : непосредственный.

7. Маркидонов, А. В. Расчет термодинамических характеристик системы Fе-P методом молекулярной динамики / А. В. Маркидонов, Д. А. Лубяной, В. В. Коваленко и др. - Текст : непосредственный // Известия высших учебных заведений. Черная металлургия. - 2019. - Т. 62. - № 9. - С. 725-731.

8. Verlet, L. Computer Experiments on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard- Jones Molecules / L. Verlet // Phys. Rev. - 1967. - V. 159. - Pp. 98-103.

9. Ракитин, М. С. Первопринципное и термодинамическое моделирование влияния упругих напряжений на энергию растворения водорода в альфа-железе / М. С. Ракитин, А. А. Мирзоев, Д. А. Мирзаев. - Текст : непосредственный // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2017. - Т. 60. - № 12. - С. 76-82.

10. Боровик, А. М. Моделирование электрических характеристик графенового полевого транзистора на основе данных расчетов из первых принципов / А. М. Боровик, М. С. Баранова, Д. Ч. Гвоздовский. - Текст : непосредственный // Инфокоммуникационные и радиоэлектронные технологии. - 2020. - Т. 3. - № 1. - С. 63-74.

11. Zalizniak, V. E. Mathematical model of conducting nanopore for molecular dynamics simulations / V. E. Zalizniak, O. A. Zolotov, O. P. Zolotova // Siberian Journal of Science and Technology. - 2018. - V. 19. - Is. 4. - Pp. 677-682.

12. Sánchez-Badillo, J. Potential of mean force calculations for an sN2 fluorination reaction in five different imidazolium ionic liquid solvents using quantum mechanics/molecular mechanics molecular dynamics simulations / J. Sánchez-Badillo, M. Gallo, R. A. Guirado-López et al. // Journal of Physical Chemistry B. - 2020. - V. 124. - Is. 21. - Pp. 4338-4357.

13. Jones, J. E. On the Determination of Molecular Fields / J. E. Jones // Proceedings of the Royal Society of London. - 1924. - V. 106. - Is. 738. - Pp. 463-477.

14. Sunagatova, I. R. Properties of one-dimensional nonlinear vibrational modes in triangular lattice with Lennard-Jones interactions / I. R. Sungatova, A. M. Subkhangulova, M. N. Semenova et al. // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2020. - V. 1008. - No. 012073.

15. Krylova K.A. Spherically localized discrete breathers in bcc metals V and Nb / K. A. Krylova, I. P. Lobzenko, A. S. Semenov et al. // Computational Materials Science. - 2020. - V. 180. - No. 109695.

16. Babicheva R. I. Discrete breathers in a triangular β-Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou lattice / R. I. Babicheva, A. S. Semenov, E. G. Soboleva et al. // Physical Review E. - 2021. - V. 103. - Is. 5. - No. 052202.

17. Цянь Сюэ-Сень. Физическая механика / Цянь Сюэ-Сень. - Москва : Мир, 1965. - 544 с. - Текст : непосредственный.

18. Bebikhov, Y. V. The application of mathematical simulation for solution of linear algebraic and ordinary differential equations in electrical engineering / Y. V. Bebikhov, A. S. Semenov, I. A. Yakushev et al. // IOP Conference Series : Materials Science and Engineering. - 2019. - V. 643. - No. 012067.

19. Bachurina, O. V. Properties of Moving Discrete Breathers in Beryllium / O. V. Bachurina, R. T. Murzaev, A. S. Semenov et al. // Physics of the Solid State. - 2018. - V. 60. - Is. 5. - Pp. 989-994.

20. Татаринов, П. С. Сборник лабораторных работ по разделу «Механика» курса «Физика» / П. С. Татаринов, В. Д. Яковлев, Д. Ч. Ким и др. - Москва : Издательство «Спутник +», 2021. - 175 с. - Текст : непосредственный.

21. Васильева, А. В. Практикум по работе с пакетами прикладных программ на ЭВМ / А. В. Васильева, М. Н. Семенова, И. А. Якушев. - Москва : Издательство «Спутник +», 2020. - 144 с. - Текст : непосредственный.

22. Семёнов, А. С. Программа математического моделирования физических процессов в металлах и упорядоченных сплавах / А. С. Семенов, М. Н. Семенова, И. А. Якушева и др. // Свидетельство № 2021615775 от 13.04.2021, заявка № 2021614436 от 02.04.2021. - Текст : непосредственный.