Mathematical modeling of physical processes in metal crystal lattices

Vibrations of crystal lattices determine such important properties of materials as thermal conductivity, heat capacity, thermal expansion, and many others; therefore, their study is an urgent and important task. Along with experimental methods of studying the nonlinear dynamics of a crystal lattice, effective methods of computer modeling, such as ab initio modeling and the method of molecular dynamics, are widely used. The method of mathematical modeling is used less often, since the calculation error during its application can reach 10%. At the same time, it is the least computationally expensive method. This paper presents the process and describes the results of mathematical modeling of physical processes in metals and ordered alloys using the Lennard-Jones potential in the MatLab software package, which is well-proven for solving technical computing problems. The theoretical part describes crystal lattices, differential equations of motion for modeling, their initial and boundary conditions, as well as difference approximation. The principle of molecular dynamics modeling using one of the paired potentials was chosen as a modeling method. In the practical part, a computational algorithm, linearization of the number of operations, thermodynamic calculations are presented, the Verlet velocity scheme and the potential of interatomic interaction are described, as well as a step-by-step development of a model in a modeling environment. The following results were obtained: a graph of the three-dimensional distribution of atoms over the computational cell was constructed, which proves the possibility of moving up to five interatomic distances; the estimation of the amplitude-frequency characteristic by the Welch method with the relative root-mean-square error not exceeding 30% was made; a graphical dependence of the binding energies between the present model and the standard data for a metal hcp cell was obtained with an error of slightly more than 3%; the calculation of the optimal model for piecewise-linear approximation was made and its three-dimensional interpolation was constructed. All conducted studies show a good degree of applicability of mathematical modeling to problems of studying dynamic processes in crystal physics.

mathematical modeling, Lennard-Jones potential, MatLab software package, differential equations, atom, crystal lattice, metals and ordered alloys, interaction energy, amplitude-frequency characteristic, difference approximation

1. Борн, М. Динамическая теория кристаллических решеток / М. Борн, Х. Кунь. - Москва : Издательство иностранной литературы, 1958. - 488 с. - Текст : непосредственный.

2. Греков Ф.Ф. Структурная кристаллография / Ф. Ф. Греков, Г. Б. Рябенко, Ю. П. Смирнов. - Ленинград : Издательство ЛГПИ, 1988. - 80 с. - Текст : непосредственный.

3. Гуляев, А. П. Металловедение / А. П. Гуляев. - изд. 6-ое. - Москва : Металлургия, 1986. - 544 с. - Текст : непосредственный.

4. Хеерман, Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / Д. В. Херман. - Москва : Наука, 1990. - 176 с. - Текст : непосредственный.

5. Якушев, И. А. Математическое моделирование сложных технических систем в среде MATLAB / И. А. Якушев, М. Н. Семенова, Ю. В. Бебихов и др. - Москва : Издательство «Спутник +», 2019. - 126 с. - Текст : непосредственный.

6. Мажукин, В. И. Температурная зависимость кинетической скорости плавления и кристаллизации алюминия / В. И. Мажукин, А. В. Шапранов, М. М. Демин и др. // Краткие сообщения по физике ФИАН. - 2016. - № 9. - С. 37-43. - Текст : непосредственный.

7. Маркидонов, А. В. Расчет термодинамических характеристик системы Fе-P методом молекулярной динамики / А. В. Маркидонов, Д. А. Лубяной, В. В. Коваленко и др. - Текст : непосредственный // Известия высших учебных заведений. Черная металлургия. - 2019. - Т. 62. - № 9. - С. 725-731.

8. Verlet, L. Computer Experiments on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard- Jones Molecules / L. Verlet // Phys. Rev. - 1967. - V. 159. - Pp. 98-103.

9. Ракитин, М. С. Первопринципное и термодинамическое моделирование влияния упругих напряжений на энергию растворения водорода в альфа-железе / М. С. Ракитин, А. А. Мирзоев, Д. А. Мирзаев. - Текст : непосредственный // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2017. - Т. 60. - № 12. - С. 76-82.

10. Боровик, А. М. Моделирование электрических характеристик графенового полевого транзистора на основе данных расчетов из первых принципов / А. М. Боровик, М. С. Баранова, Д. Ч. Гвоздовский. - Текст : непосредственный // Инфокоммуникационные и радиоэлектронные технологии. - 2020. - Т. 3. - № 1. - С. 63-74.

11. Zalizniak, V. E. Mathematical model of conducting nanopore for molecular dynamics simulations / V. E. Zalizniak, O. A. Zolotov, O. P. Zolotova // Siberian Journal of Science and Technology. - 2018. - V. 19. - Is. 4. - Pp. 677-682.

12. Sánchez-Badillo, J. Potential of mean force calculations for an sN2 fluorination reaction in five different imidazolium ionic liquid solvents using quantum mechanics/molecular mechanics molecular dynamics simulations / J. Sánchez-Badillo, M. Gallo, R. A. Guirado-López et al. // Journal of Physical Chemistry B. - 2020. - V. 124. - Is. 21. - Pp. 4338-4357.

13. Jones, J. E. On the Determination of Molecular Fields / J. E. Jones // Proceedings of the Royal Society of London. - 1924. - V. 106. - Is. 738. - Pp. 463-477.

14. Sunagatova, I. R. Properties of one-dimensional nonlinear vibrational modes in triangular lattice with Lennard-Jones interactions / I. R. Sungatova, A. M. Subkhangulova, M. N. Semenova et al. // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2020. - V. 1008. - No. 012073.

15. Krylova K.A. Spherically localized discrete breathers in bcc metals V and Nb / K. A. Krylova, I. P. Lobzenko, A. S. Semenov et al. // Computational Materials Science. - 2020. - V. 180. - No. 109695.

16. Babicheva R. I. Discrete breathers in a triangular β-Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou lattice / R. I. Babicheva, A. S. Semenov, E. G. Soboleva et al. // Physical Review E. - 2021. - V. 103. - Is. 5. - No. 052202.

17. Цянь Сюэ-Сень. Физическая механика / Цянь Сюэ-Сень. - Москва : Мир, 1965. - 544 с. - Текст : непосредственный.

18. Bebikhov, Y. V. The application of mathematical simulation for solution of linear algebraic and ordinary differential equations in electrical engineering / Y. V. Bebikhov, A. S. Semenov, I. A. Yakushev et al. // IOP Conference Series : Materials Science and Engineering. - 2019. - V. 643. - No. 012067.

19. Bachurina, O. V. Properties of Moving Discrete Breathers in Beryllium / O. V. Bachurina, R. T. Murzaev, A. S. Semenov et al. // Physics of the Solid State. - 2018. - V. 60. - Is. 5. - Pp. 989-994.

20. Татаринов, П. С. Сборник лабораторных работ по разделу «Механика» курса «Физика» / П. С. Татаринов, В. Д. Яковлев, Д. Ч. Ким и др. - Москва : Издательство «Спутник +», 2021. - 175 с. - Текст : непосредственный.

21. Васильева, А. В. Практикум по работе с пакетами прикладных программ на ЭВМ / А. В. Васильева, М. Н. Семенова, И. А. Якушев. - Москва : Издательство «Спутник +», 2020. - 144 с. - Текст : непосредственный.

22. Семёнов, А. С. Программа математического моделирования физических процессов в металлах и упорядоченных сплавах / А. С. Семенов, М. Н. Семенова, И. А. Якушева и др. // Свидетельство № 2021615775 от 13.04.2021, заявка № 2021614436 от 02.04.2021. - Текст : непосредственный.